Homology of T-Hypersurfaces
Homologie des T-Hypersurfaces
Résumé
Our main focus is the topology, especially the homology, of T-hypersurfaces. These topological spaces, combinatorial in nature, are a generalisation of O. Viro’s combinatorial patchworks. They are naturally embedded in the real loci of toric varieties and were considered to find real algebraic hypersurfaces with a rich topology. The starting point of our study is the Renaudineau-Shaw spectral sequence and the Tropical Lefschetz Theorem. We generalise this latter theorem to certain hypersurfaces of singular toric varieties and deduce a generating family of their tropical homology. Then, we establish a Poincaré duality in the Renaudineau-Shaw spectral sequence. It leads us to a degeneracy criterion for the sequence. Using the aforementioned results we are able to characterise the T-hypersurfaces having a maximal number of connected components in the sense of the Renaudineau-Shaw inequalities.
Notre objet d’étude est la topologie, en particulier l’homologie, des T-hypersurfaces. Ces espaces topologiques construits de manière combinatoire sont une généralisation des patchworks combinatoires d’O. Viro. Ils sont naturellement plongés dans les lieux réels de variétés toriques et sont nés d’un besoin en hypersurfaces algébriques réelles ayant une topologie riche. Nous prenons comme point de départ de notre étude la suite spectrale de Renaudineau-Shaw et le théorème de Lefschetz tropical. Nous généralisons ce dernier théorème à certaines hypersurfaces de variétés toriques singulières et en tirons une famille génératrice de l’homologie tropicale. Ensuite, nous démontrons une dualité de Poincaré dans la suite spectrale de Renaudineau-Shaw. Ceci nous mène à un critère de dégénérescence pour cette suite. Grâce à ces résultats nous parvenons à caractériser les T-hypersurfaces ayant un nombre maximal de composantes connexes au sens des inégalités de Renaudineau-Shaw.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|